Question

數列{a_n}中，a₁=

1

5

，a_n+a_n+1=

6

5n+1

，n∈N*，則

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）等于（　　）

• A、

  2

  5

• B、

  2

  7

• C、

  1

  4

• D、

  4

  25

Answer 1

分析：2（a₁+a₂+…+a_n）=a₁+[（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）]+a_n=

1

5

+[

6

52

+

6

53

+…+

6

5n

]+a_n．由此能夠導出

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

解答：解：2（a₁+a₂+…+a_n）
=a₁+[（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）]+a_n
=

1

5

+[

6

52

+

6

53

+…+

6

5n

]+a_n．
∴原式=

1

2

[

1

5

+

6 25

1- 1 5

+

lim

n→∞

a_n]=

1

2

（

1

5

+

3

10

+

lim

n→∞

a_n）．
∵a_n+a_n+1=

6

5n+1

，∴

lim

n→∞

a_n+

lim

n→∞

a_n+1=0．∴

lim

n→∞

a_n=0．
故選C．

點評：本題考查數列的極限和求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．