Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ，g（x）=ax+b．
（1）若函數h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx﹣ 圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）當b=0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求證：x1x2＞2e2 ． （取e為2.8，取ln2為0.7，取 為1.4）

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）= ，則 ，

∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴對x＞0，都有 ，

即對x＞0，都有 ，

∵ ，∴a≤0，

故實數a的取值范圍是（﹣∞，0]

（2）解：設切點 ，則切線方程為 ，

即 ，亦即 ，

令 ，由題意得 ，

令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，則 ，

當t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調遞減；

當t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值為﹣1

（3）證明：由題意知 ， ，

兩式相加得 ，

兩式相減得 ，

即 ，

∴ ，

即 ，

不妨令0＜x1＜x2，記 ，

令 ，則 ，

∴ 在（1，+∞）上單調遞增，則 ，

∴ ，則 ，

∴ ，

又 ，

∴ ，即 ，

令 ，則x＞0時， ，

∴G（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又 ，

∴ ，

則 ，即

【解析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其導函數，結合h（x）在（0，+∞）上單調遞增，可得對x＞0，都有h′（x）≥0，得到 ，由 得到a的取值范圍；（2）設切點 ，寫出切線方程，整理得到 ，令 換元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用導數求其最小值；（3）由題意知 ， ，把a用含有x1 ， x2的代數式表示，得到 ，不妨令0＜x1＜x2 ， 記 ，構造函數 ，由導數確定其單調性，從而得到 ，即 ，然后利用基本不等式放縮得到 ，令 ，再由導數確定G（x）在（0，+∞）上單調遞增，然后結合又 得到 ，即 ．