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已知x₁是方程x＋lg x＝3的一個根，x₂是方程x＋10^x＝3的一個根，那么x₁＋x₂的值是

[　　]

A．6

B．3

C．2

D．1

答案：B
解析：

　　解：將已知的兩個方程變形得lg x＝3－x，10^x＝3－x．

　　令f(x)＝lg x，g(x)＝10^x，h(x)＝3－x．

　　如圖所示．

　　記g(x)與h(x)的交點為A(x₁，y₁)，f(x)與h(x)的交點為B(x₂，y₂)，利用函數的性質易知A、B兩點關于直線y＝x對稱，便有x₁＝y₂，x₂＝y₁的結論．將A點坐標代入直線方程，得y₁＝3－x₁，再將y₁＝x₂代入上式，得x₂＝3－x₁，即x₁＋x₂＝3．

提示：

　　分析：這是一個研究方程的根的問題，如果采用純代數的方法，從解方程或方程組的方法入手，將很困難，有些問題甚至無法解決．于是我們想到構造函數，利用函數圖象，借助數形結合的思想來解決．

　　評注：此類題一般采用構造函數，應用數形結合求解．需指出，我們僅能求解一些特殊的此類問題，對于一般的問題，在目前階段沒有普遍的方法求解．如方程log₂x＝x²－2，2x²＋2^x＝3，a^|x|＝|log_ax|等等，這類問題的解均無普遍方法求得．我們只能借助數形結合得到方程解的個數或解的大致范圍．因此，此類問題一般都是研究解的個數和解的范圍．

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已知函數f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）當a=5時，求f（x）的單調遞減函數；
（Ⅱ）設直線l是曲線y=f（x）的切線，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，求證：f（x₁）+f（x₂）＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

時，f（x）取得極小值

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題