Question

已知函數f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x，(x∈R)
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若函數f（x）滿足f（x+m）=f（m-x），試求實數m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為

3

sin(2x-

π

6

)，可得它的周期T．
（2）由條件可得函數f（x）圖象的對稱軸是x=m，故有 sin(2m-

π

6

)=±1，求得 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），可得實數m的最小正值．

解答：解：（1）∵f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x=

3

[

3

2

sin2x-

1

2

cos2x]=

3

sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．
（2）函數f（x）滿足f（x+m）=f（m-x），即函數f（x）圖象的對稱軸是x=m，
即當x=m時f（x）取最大（小）值時，故有 sin(2m-

π

6

)=±1．
所以，2m-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），
∴所求實數m的最小正值是

2π

3

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的圖象的對稱性，三角函數的周期性和求法，
屬于中檔題