Question

（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，
底面，點，
分別在棱上，且
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在點E使得二面角是直二面角.

試題分析：以A為原煤點建立空間直角坐標系，設，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，∴.
∴與平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.
點評：空間向量在解決立體幾何中的用處非常廣泛，可使題目簡化