已知點
，
是拋物線
上相異兩點，且滿足
．
（Ⅰ）若
的中垂線經過點
，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交
軸于點
，求
的面積的最大值及此時直線的方程．
（Ⅰ）
（Ⅱ）
.
解析試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放縮和數列的裂項求和
試題解析：（I）方法一
（I）當垂直于
軸時，顯然不符合題意，
所以可設直線的方程為
，代入方程得：
∴
得：
2分
∴直線的方程為
∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為
4分
∴的中垂線方程為
∵的中垂線經過點，故
，得
6分
∴直線的方程為 7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為
，∴點的坐標為
8分
因為直線的方程為
∴到直線的距離
10分
由
得，
，
12分
∴
, 設
,則
，
，
，由
，得
在
上遞增，在
上遞減，當時，
有最大值
得：
時，
直線方程為 15分
(本題若運用基本不等式解決，也同樣給分)
法二：
（Ⅰ）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
當不垂直于軸時，根據題意設的中點為
，
則
2分
由
、
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，點
為動點，
、
分別為橢圓
的左、右焦點．已知
為等腰三角形.
（1）求橢圓的離心率
；
（2）設直線
與橢圓相交于
、
兩點，
是直線上的點，滿足
，求點的軌跡
方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F為橢圓的右焦點，且
·
＝1，｜
｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
.點
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點
處的切線平行，設直線與軌跡交于點
.
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且
的面積為20，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求
的取值范圍；，
(2)若直線
不經過點
，求證：直線
的斜率互為相反數.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知，橢圓C過點
，兩個焦點為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)
是橢圓C上的兩個動點，如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數，證明直線
的斜率為定值，并求出這個定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．過該橢圓上任一點
作
軸，垂足為
，點
在
的延長線上，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡
的方程；
（3）設直線
（點不同于
）與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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是它的兩個頂點，直線
與直線
相交于點D，與橢圓相交于
兩點.
，求
的值；
面積的最大值.
：
與
正半軸、
正半軸的交點分別為
，動點
是橢圓上任一點，求
面積的最大值。