Question

已知圓O1：x2+y2+2y-3=0內一定點A（1，-2），P，Q為圓上的兩不同動點．
（1）若P，Q兩點關于過定點A的直線l對稱，求直線l的方程；
（2）若圓O₂的圓心O₂與點A關于直線x+3y=0對稱，圓O₂與圓O₁交于M，N兩點，且|MN|=2

2

，求圓O₂的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓O₁的方程化為標準方程，找出O₁的坐標，由P，Q兩點關于直線l對稱，得到直線l過O₁，又直線l過A點，由兩點的坐標寫出直線l的方程即可；
（2）設O₂的坐標為（a，b），由O₂與點A關于直線x+3y=0對稱，得到O₂與點A的中點在x+3y=0上，利用線段中點坐標公式表示出O₂與點A的中點坐標，代入x+3y=0中，得到關于a與b的方程，且直線O₂A與直線x+3y=0垂直，得到斜率的乘積為-1，由直線x+3y=0的斜率求出直線O₂A的斜率，由O₂與點A的坐標表示出斜率，列出關于a與b的方程，聯立兩方程求出a與b的值，確定出O₂的坐標，設圓O₂的半徑為r，表示出圓O₂的方程，兩圓的方程相減得到公共弦MN所在直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心O₂到直線MN的距離，即為弦心距，根據勾股定理由弦MN長的一半，圓的半徑r及弦心距列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可確定出圓O₂的方程．

解答：解：（1）將圓O₁的方程化為標準方程得：x²+（y+1）²=4，
∴O₁（0，-1），又P，Q兩點關于過定點A的直線l對稱，
∴O₁（0，-1）在直線l上，又直線l過A（1，-2），
∴直線l的方程為y+2=

-1-(-2)

0-1

（x-1），即x+y+1=0；
（2）設O₂（a，b），
∵O₂與A關于直線x+3y=0對稱，且x+3y=0的斜率為-

1

3

，
∴

b+2

a-1

=3①，且

a+1

2

+3•

b-2

2

=0②，
聯立①②解得：a=2，b=1，∴O₂（2，1），
可設圓O₂的方程為：（x-2）²+（y+1）²=r²，
又圓O₁的方程為：x²+（y+1）²=4，
∴兩圓方程相減，即得兩圓公共弦MN所在直線的方程為4x+4y+r²-8=0，
∵|MN|=2

2

，圓O₁的半徑為2，
∴O₁到直線MN的距離為

|r2-12|

4 2

=

4- ( 2 )2

=

2

，
解得：r²=20或r²=4，
則圓O₂的方程為：（x-2）²+（y+1）²=20或（x-2）²+（y+1）²=4．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：關于點、直線對稱的直線方程，直線的兩點式方程，線段中點坐標公式，兩圓相交的性質，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及圓的標準方程，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，然后由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．