Question

證明恒等式：
（1）

1+2sinαcosα

cos2α-sin2α

=

1+tanα

1-tanα

；　　
（2）

1-sin6x-cos6x

1-sin4x-cos4x

=

3

2

．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的基本關系把不等式的左邊化為

(sinα+cosα)2

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

，即

cosα+sinα

cosα-sinα

，即

1+tanα

1-tanα

，不等式得證．
（2）利用同角三角函數的基本關系把不等式的左邊化為

(sin2x+cos2x)3-(sin6x+cos6x)

(sin2x+cos2x)2-(sin4x+cos4x)

，即

3sin2x•cos2x

2sin2x•cos2x

，不等式得證．

解答：證明：（1）∵

1+2sinαcosα

cos2α-sin2α

=

(sinα+cosα)2

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

=

cosα+sinα

cosα-sinα

=

1+tanα

1-tanα

，
∴

1+2sinαcosα

cos2α-sin2α

=

1+tanα

1-tanα

成立．
（2）∵

1-sin6x-cos6x

1-sin4x-cos4x

=

(sin2x+cos2x)3-(sin6x+cos6x)

(sin2x+cos2x)2-(sin4x+cos4x)

=

3sin2x•cos2x

2sin2x•cos2x

=

3

2

，
∴

1-sin6x-cos6x

1-sin4x-cos4x

=

3

2

成立．

點評：本題主要考查利用同角三角函數的基本關系進行化簡求值，屬于中檔題．