Question

我們把數列{a_n^k}叫做數列{a_n}的k方數列（其中a_n＞0，k，n是正整數），S（k，n）表示k方數列的前n項的和．
（1）比較S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的大�。�
（2）若數列{a_n}的1方數列、2方數列都是等差數列，a₁=a，求數列{a_n}的k方數列通項公式．
（3）對于常數數列a_n=1，具有關于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數列{a_n}的k方數列進行研究，寫出一個不是常數數列{a_n}的k方數列關于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程．

Answer 1

分析：（1）由S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²，知S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²=a₁a₂（a₁-a₂）²，由a_n＞0，知S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²．
（2）設a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p，則d（a_n+a_n-1）=p，d（a_n+1+a_n）=p，2d²=0，所以d=p=0，a_n=a_n-1，由此能求出a_n^k=a^k．
（3）當a_n=n時，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n）．證明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）相減得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³，[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²，由此得證．

解答：解：（1）S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²…（2分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²…（4分）
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²
∵a_n＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²…（5分）
（2）設a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p…（7分）
則  d（a_n+a_n-1）=p…①d（a_n+1+a_n）=p…②
∴②-①得  2d²=0，∴d=p=0  …（9分）a_n=a_n-1，∴a_n^k-a_n-1^k=0
∴a_n^k=a^k…（11分）
（3）當a_n=n時，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n） …（15分）
證明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）
相減得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³
∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²
相減得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，，a_n＞0a_n-a_n-1=1，，a₁=1
∴a_n=n…（18分）

點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．