Question

在(

x

-

1

2

3	x

)  m的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，求：
（1）n的值；
（2）系數的絕對值最大的項是第幾項？該項是什么？
（3）系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）根據題意，其展開式中只有第6項的二項式系數最大，由二項式系數的性質，分析可得n是偶數，且第6項為中間項，即

n

2

+1=6，解可得答案；
（2）設第k+1項系數的絕對值最大，則第k+1項的系數絕對值比第k項與第k+2項的系數絕對值都大，據此可以構造不等式組，解可得

8

3

≤k≤

11

3

，由k的取值范圍，可得答案；
（3）由（2）的結論，分析可得，第4項的系數為負，系數最大的項為第3項或第5項中的一項，計算T₃、T₅，比較可得答案．

解答：解：（1）根據題意，展開式中只有第6項的二項式系數最大，
則n是偶數，且第6項為中間項，即

n

2

+1=6，
解可得n=10；
（2）設第k+1項系數的絕對值最大，
則有

C k 10 2-k≥ C k+1 10 2-k-1 C k 10 2-k≥ C k-1 10 2-k+1

，即

k+1 10-k ≥ 1 2 11-k k ≥2

解可得

8

3

≤k≤

11

3

，
又由k∈N^*，則k=3，
系數絕對值對大的項是第4項，T₄=-C₁₀³2^-3x

9

2

=-15x

9

2

；
（3）第4項的系數為負，系數最大的項為第3項或第5項中的一項，
又由T₃=

45

4

x

14

3

，T₅=

105

8

x

13

3

，
比較可得，系數最大的是第5項，則系數最大項為T₅=

105

8

x

13

3

．

點評：本題考查二項式定理的應用，解題時要分清二項式系數與該項的系數，掌握系數比較的方法．