Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中偶數(shù)項二項式系數(shù)的和比（1+x）ⁿ展開式的各項系數(shù)和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求（1-x）²ⁿ展開式中系數(shù)最大的項；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中的所有的有理項．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，由此求得n的值．
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而可得（1-x）⁸展開式中系數(shù)最大的項是第五項，根據(jù)通項公式求得 T₅．
（Ⅲ）設(shè)有理項為第r+1項，根據(jù)通項公式 可得

8-2r 3 ∈z 0r≤8 ，  r∈z

，求得r=1，4，7，從而得到展開式中的所有的有理項．

解答：解：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，2²ⁿ-2•2ⁿ-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而，（1-x）⁸展開式中系數(shù)最大的項是：T₅=

C

4 8

（-x）⁴=70x⁴．  …（8分）
（Ⅲ）設(shè)有理項為第r+1項，則 T_r+1=

C

r 8

•(-

1

2

)r•x

r

3

=(-

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

3

，∴

8-2r 3 ∈z 0r≤8 ，  r∈z

．
令

8-2r

3

=k 則，r=4-

3

2

k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2項，第5項，第8項為有理數(shù)，它們分別是 T₂=-

1

2

C

1 8

•x²=-4x²，T₅=(-

1

2

)4•

C

4 8

•x⁰=

35

8

，
T₈=(-

1

2

)7•

C

7 8

•x^-2．…..13 分

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．