Question

設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+4n

(n∈N*)所表示的平面區域D_n的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為a_n，則

1

2010

(a2+a4+…+a2010)=

 

．

Answer 1

分析：利用不等式對應的圖形為三角形，求出所有的整數點個數，判斷出a_n為等差數列，利用等差數列的前n項和公式求出前n項和．

解答：解：

x＞0 y＞0 y≤-nx+4n

(n∈N*)所表示的平面區域D_n的整點個數
a_n=3n+2n+n=6n
∴{a_n}為等差數列
∴a₂，a₄，…a₂₀₁₀也為等差數列
∴

1

2010

(a2+a4+…+a2010)
=

1

2010

×

(a2+a2010)×1005

2

═

1

2010

×

(12 +2010×6 )×1005

2

=3018
故答案為3018．

點評：求數列的前n項和，首先要求出數列的通項，利用通項的特點選擇合適的求和方法．