Question

直線y=-3與曲線y=5cos(x-

π

4

)，(-

π

2

＜x＜0)的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，這條垂線與曲線y=5cos2x的交點(diǎn)為Q，則線段PQ的長(zhǎng)度為

9

5

．

Answer 1

分析：由題意可得PQ兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，設(shè)為x₀，由已知可得關(guān)于x₀的三角函數(shù)，而只需求到Q的縱坐標(biāo)即可，該值與x₀的三角函數(shù)有關(guān)，由三角函數(shù)的個(gè)數(shù)可得其聯(lián)系，即可得答案．

解答：解：由題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，-3），則5cos(x0-

π

4

)=-3，
解得cos(x0-

π

4

)=-

3

5

，又∵-

π

2

＜x0＜0，
∴-

3π

4

＜x0＜-

π

4

，
∴sin(x0-

π

4

)=-

4

5

，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與曲線y=5cos2x的交點(diǎn)為Q，設(shè)為Q（x₀，y₀），
且滿足y₀=5cos2x₀，由誘導(dǎo)公式可得y₀=5cos2x₀=5sin(

π

2

-2x0)=10sin(

π

4

-x0)cos(

π

4

-x0)=10×

4

5

×(-

3

5

)=-

24

5

故線段PQ的長(zhǎng)度為|-3-（-

24

5

）|=

9

5

故答案為：

9

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．