Question

已知點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，M點(diǎn)在y軸上，N為動點(diǎn)，且滿足

PM

•

PF

=0，

PN

+

PM

=0．
（1）求動點(diǎn)N的軌跡C方程；
（2）由直線y=-1上一點(diǎn)Q向曲線C引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)

PN

+

PM

=0分別表示出P，M的坐標(biāo)；然后根據(jù)

PM

•

PF

=0兩個條件即可求出動點(diǎn)N的軌跡C方程．
（2）根據(jù)兩條直線斜率k均存在，故直接設(shè)出兩切線方程，代入曲線C的方程，化簡為一元二次方程，根據(jù)判別式△=0得到一個關(guān)系式，根據(jù)韋達(dá)定理易得出兩根之積為-1，即兩斜率之積為-1，易得出兩直線垂直

解答：解：（1）設(shè)N（x，y）．
因

PN

+

PM

=0，
故P的坐標(biāo)為（

x

2

，0），M（0，-y），
于是，

PM

=(-

x

2

，-y)，

PF

=(-

x

2

，1)．
因

PM

•

PF

=0，
即得曲線C的方程為x²=4y
（2）設(shè)Q（m，-1）．
由題意，兩條切線的斜率k均存在，
故可設(shè)兩切線方程為y=k（x-m）-1．
將上述方程代入x²=4y，
得x²-4kx+4km+4=0．
依題意，△=（-4k）²-4（4km+4）=0，
即k²-mk-1=0．
上述方程的兩根即為兩切線的斜率，
由根與系數(shù)的關(guān)系，其積為-1，即它們所在直線互相垂直
∴AQ⊥BQ

點(diǎn)評：本題考查求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程問題和直線與圓錐曲線相切問題，涉及到一元二次方程判別式與韋達(dá)定理的問題，屬于難題