Question

（2013•嘉定區二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為

d

=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由題意，Q（x，-1），利用向量的運算即可得出；
（2）由（1）可知：軌跡C為拋物線，準線方程為y=-1，即直線m，所以M（0，-1），當a=0時，直線m'的方程為x=0，與曲線C只有一個公共點，故a≠0．把直線m'的方程與拋物線的方程聯立，利用判別式△、根與系數的關系、向量的運算FA⊥FB?

FA

•

FB

=0，即可得出a；
（3）由（2），得線段AB的中點為(

2

a

 ， 

2

a2

-1)，線段AB的垂直平分線的一個法向量為

n

=(a ， 1)，即可得到線段AB的垂直平分線的方程，利用（2）的a的取值范圍即可得出．

解答：解：（1）設P（x，y），由題意，Q（x，-1），

QP

=(0 ， y+1)，

QF

=(-x ， 2)，

FP

=(x ， y-1)，

FQ

=(x ， -2)，
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得2（y+1）=x²-2（y-1），
化簡得x²=4y．所以，動點P的軌跡C的方程為x²=4y．
（2）軌跡C為拋物線，準線方程為y=-1，即直線m，所以M（0，-1），
當a=0時，直線m'的方程為x=0，與曲線C只有一個公共點，故a≠0．
所以直線m'的方程為

x

a

=y+1，由

x=ay+a x2=4y

 得a²y²+（2a²-4）y+a²=0，
由△=4（a²-2）²-4a⁴＞0，得0＜a²＜1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

a2

-2，y₁y₂=1，
所以x1+x2=

4

a

，x₁x₂=4，
若FA⊥FB，則

FA

•

FB

=0，即（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=0，x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，4+1-(

4

a2

-2)+1=0，
解得．所以a=±

2

2

．
（3）由（2），得線段AB的中點為(

2

a

 ， 

2

a2

-1)，
線段AB的垂直平分線的一個法向量為

n

=(a ， 1)，
所以線段AB的垂直平分線的方程為a(x-

2

a

)+(y-

2

a2

+1)=0，
令x=0，y0=

2

a2

+1，
因為0＜a²＜1，所以

2

a2

+1＞3．
所以y₀的取值范圍是（3，+∞）．

點評：本題主要考查拋物線的方程與性質、向量的運算及其數量積、直線與拋物線的位置關系、線段的垂直平分線等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．