Question

（2009•濟寧一模）已知兩條不重合的直線m、n和兩個不重合的平面α、β，有下列命題：
①若m⊥n，m⊥α，則n∥α； 
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β； 
③若m、n是兩條異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β； 
④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，則n⊥α．
其中正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①直線與平面的位置關系有三種：平行，相交，在平面內，此命題中n可能在平面α內，故①錯誤；②利用“垂直于同一條直線的兩平面平行即可判斷②正確；③利用線面垂直的判定定理，先證明平面β內有兩條相交直線與平面α平行，再由面面平行的判定定理證明兩面平行，③正確；④若兩平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面，由此性質定理即可判斷④正確

解答：解：①若m⊥n，m⊥α，則n可能在平面α內，故①錯誤
②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正確
③過直線m作平面γ交平面β與直線c，
∵m、n是兩條異面直線，∴設n∩c=O，
∵m∥β，m?γ，γ∩β=c∴m∥c，
∵m?α，c?α，∴c∥α，
∵n?β，c?β，n∩c=O，c∥α，n∥α
∴α∥β；故③正確
④由面面垂直的性質定理：∵α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，∴n⊥α．故④正確
故正確命題有三個，
故選C

點評：本題綜合考查了直線與平面的位置關系，面面平行的判定定理及結論，面面垂直的性質定理等基礎知識