Question

已知a＞0且a≠1，數列{a_n}是首項為a，公比也為a的等比數列，設b_n=a_n•1ga_n，問是否存在a，對任意自然數n∈N^*，數列{b_n}中的每一項總小于它后面所有的項？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：由{a_n}是首項為a，公比為a的等比數列，知an=an，b_n=a_n•1ga_n=naⁿlga，故bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga．當a＞1時，lga＞0，aⁿ＞0，（n+1）a-n＞（n+1）-n＞0，bn＜bn+1(n∈N*)；當0＜a＜1時，lga＜0，當a＜

n

n+1

（n∈N^*）時，b_n＜b_n+1（n∈N^*），當n∈N^*時，n+1≤2n，由此能導出當a的取值為（0，

1

2

）∪（1，+∞）時，使得數列{b_n}中的任一項都小于它后面各項．

解答：解：∵{a_n}是首項為a，公比為a的等比數列，
∴an=an，b_n=a_n•1ga_n=naⁿlga，
∴bn+1=(n+1)an+1 lga，
∴bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga．
（1）當a＞1時，lga＞0，aⁿ＞0，（n+1）a-n＞（n+1）-n＞0，
∴bn＜bn+1(n∈N*)．
（2）當0＜a＜1時，lga＜0，
當且僅當（n+1）a-n＜0（n∈N^*）時，
bn＜bn+1(n∈N*)，
即當a＜

n

n+1

（n∈N^*）時，b_n＜b_n+1（n∈N^*），
而當n∈N^*時，n+1≤2n，即

n

n+1

≥

1

2

，
∴只要取a＜

1

2

．
綜上所述，當a的取值為（0，

1

2

）∪（1，+∞）時，
使得數列{b_n}中的任一項都小于它后面各項．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．