Question

已知a＞0且a≠1，則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時的k的取值范圍為

（-∞，-1）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：由題設條件可知，原方程的解x應滿足

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2) x2-a2＞0．(3)

，當（1），（2）同時成立時，（3）顯然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2)

，再根據這個不等式組的解集并結合對數函數的性質可以求出k的取值范圍．

解答：解：由對數函數的性質可知，
原方程的解x應滿足

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2) x2-a2＞0．(3)

當（1），（2）同時成立時，（3）顯然成立，
因此只需解

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2)

由（1）得2kx=a（1+k²）（4）
當k=0時，由a＞0知（4）無解，因而原方程無解．
當k≠0時，（4）的解是x=

a(1+k2)

2k

．(5)
把（5）代入（2），得

1+k2

2k

＞k．
解得：-∞＜k＜-1或0＜k＜1．
綜合得，當k在集合（-∞，-1）∪（0，1）內取值時，原方程有解．
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）．

點評：本小題主要考查函數的零點與方程根的關系、對數函數圖象與性質的綜合應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．