Question

已知函數f（x）=x²+x及兩個正整數數列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）對任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且當n≥2時，有；又數列{c_n}滿足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求數列{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）證明存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

（1）解：由．
因為{b_n}是正整數列，所以．
于是{b_n}是等比數列，
又b₁=1，b₂=λ，所以（2分）
因為f（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，
∵a_n+1=f'（a_n）
∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=3，
∴數列{a_n+1}是以4為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹
∴（5分）
（2）解：由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：．
由及得：（6分）
設①
②
當λ≠1時，①式減去②式，得
于是，（8分）
這時數列{a_n}的前n項和（9分）
當λ=1時，．這時數列{a_n}的前n項和（10分）
（3）證明：通過分析，推測數列的第一項最大，
下面證明：，n≥2③（11分）
由λ＞0知c_n＞0要使③式成立，只要，
因為=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2c_n+1，n≥2． 所以③式成立．
因此，存在k=1，使得對任意n∈N^*均成立．（14分）
分析：（1）根據，{b_n}是正整數列，可知，利用b₁=1，b₂=λ，可得因為f（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，根據a_n+1=f'（a_n），可得a_n+1=2a_n+1，從而可知數列{a_n+1}是以4為首項，以2為公比的等比數列，故可求數列{a_n}}的通項公式；
（2）由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：，從而可得，設，當λ≠1時，利用錯位相減法可求和；當λ=1時，．這時數列{a_n}的前n項和；
（3）通過分析，推測數列的第一項最大，證明，即可知存在k=1，使得對任意n∈N^*均成立．
點評：本題以數列的性質為載體，考查數列通項的求解，考查數列與不等式的聯系，考查了錯位相減法求和，同時考查了分類討論的數學數學，綜合性較強．