Question

已知二次函數y=f（x）圖象過點（0，3），它的圖象的對稱軸為x=2，且y=f（x）的兩個零點的差為2，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：設出二次函數f（x）的解析式ax²+bx+c （a≠0），由圖象過點（0，3）可得c的值；由對稱軸為x=2，且y=f（x）的兩個零點的差為2，可得a、b的大小．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
∵f（x）的圖象過點（0，3），∴c=3；
又f（x）的對稱軸為x=2，∴-

b

2a

=2即b=-4a，
∴f（x）=ax²-4ax+3（a≠0）；
設方程ax²-4ax+3=0（a≠0）的兩個實根為 x₁，x₂，且x₁＞x₂，
則依題意：x1+x2=4，x1x2=

3

a

，x1-x2=2，
∴x₁=3，x₂=1，∴

3

a

=x1x2=3；
∴a=1，b=-4；
∴y=f（x）的解析式為f（x）=x²-4x+3．

點評：本題考查了函數解析式的求法以及二次函數的圖象與對稱軸、函數零點等知識，是基礎題．