Question

已知二次函數y=f（x）（x∈R）的圖象過點（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數y=f(sinx)，x∈[0，

π

2

]的最值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得二次函數與x軸的交點分別為（1，0）和（3，0），可設此二次函數的兩根式，把（0，-3）代入即可求出解析式；
（2）由（1）求出的二次函數的解析式，利用二次函數在sinx值域的區間求最值的方法得到函數的最值即可．

解答：解：（1）因為f（x）＞0的解集（1，3），所以二次函數與x軸的交點為（1，0）和（3，0）
則設f（x）=a（x-1）（x-3），又因為函數圖象過（0，-3），代入f（x）得：a=-1．
所以f（x）的解析式為f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）由（1）得f（x）=-（x-2）²+1，
所以f（sinx）=-（sinx-2）²+1，
因為x∈[0，

π

2

]，所以sinx∈[0，1]，
由正弦函數和f（x）都在[0，1]上單調遞增，
所以x∈[0，1]時，f（sinx）最小值為-3，最大值為0．

點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，會求復合函數的最值．學生在求函數最值時應注意自變量的取值范圍．