Question

（2007•河東區一模）已知：A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一條弦，向量

0A

+

OB

 交AB于點M，且向量

OM

=（2，1）．以M為焦點，以橢圓的右準線為相應準線的雙曲線與直線AB交于點N（4，-1）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e₁；
（Ⅱ）設雙曲線的離心率為e₂，若e₁+e₂=f（a），求 f（a） 的解析式，并確定它的定義域．

Answer 1

分析：（I）由向量

0A

+

OB

 與AB相交于點M，可知：AB的中點是M（2，1）．利用“點差法”及其k_AB=k_MN，a²=b²+c²即可得出橢圓離心率；
（II）設橢圓的右準線為 l，過點N作 NN′⊥l 于N′，則由雙曲線定義及題意知：e₂=

|MN|

|MN′|

，即可得出e₁+e₂=f（a）．再由題設條件，直線AB的方程為：y=-x+3，代入橢圓方程可得△＞0，進而得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一條弦，向量

0A

+

OB

 與AB相交于點M，可知：AB的中點是M，
由向量

OM

=（2，1），知M（2，1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
且AB在橢圓上，則

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
兩式相減，得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

2b2

a2

=kMN=

-1-1

4-2

=-1，
∴a²=2b²，
又a²=b²+c²，∴b²=c²，
∴橢圓的離心率e₁=

2

2

．
（Ⅱ）設橢圓的右準線為 l，過點N作 NN′⊥l 于N′，
則由雙曲線定義及題意知：
e₂=

|MN|

|MN′|

=

(2-4)2+22

a2 c -4

=

2 2

a2 c -4

=

2

a-2 2

；
∴e₁+e₂=f（a）=

2

2

+

2

a-2 2

=

2 a

2a-4 2

，
由題設條件，直線AB的方程為：y=-x+3，
代入橢圓方程并消去y，得：3x²-12x+18-a²=0，
由△=12²-12（18-a²）＞0，得a²＞6，∴a＞

6

，
又e₂=

2

a-2 2

，∴a≠2

2

，
又由e₂＞1，得2

2

＜a＜2+2

2

，
∴f（a）的定義域為：a∈（2

2

，2+2

2

）．

點評：熟練掌握橢圓與雙曲線的定義、離心率計算公式、“點差法”、向量運算及其中點表示、斜率計算公式、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0等是解題的關鍵．