Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數存在兩個極值點，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）對函數進行求導，將導數的正負轉化成研究一元二次函數的根的分布問題；

（2）利用韋達定理得到，，將轉化成關于的表達式，再利用換元法令，從而構造函數，根據函數的值域可得自變量的范圍，進而得到的取值范圍.

解：（1）.

令，則.

①當或，即時，恒成立，所以在上單調遞增.

②當，即時，

由，得或；

由，得，

∴在和上單調遞增，

在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減.

（2）由（1）得，當時，有兩極值點，（其中）.

由（1）得，為的兩根，所以，.

所以

.

令，則，

因為，

所以在上單調遞減，而，，

所以，

又，易知在上單調遞增，

所以，

所以實數的取值范圍為.