Question

【題目】已知數列的前項和為，，，，.

（1）若，，求的值；

（2）若數列的前項成公差不為0的等差數列，求的最大值；

（3）若，是否存在，使為等比數列？若存在，求出所有符合題意的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在；.

【解析】

（1）記為式.當時，式為，令得，，轉化求解即可.

（2）設公差為，若，則，.在式中，令得，，推出，若，推出，求解可得，.所以符合題意.驗證，是否成立，推出結果.

（3）假設存在，使為等比數列，推出，結合，推出，得到數列為常數列，轉化求解證明即可.

解：記為式.

（1）當時，式為，

令得，，即，

由已知，，解得.

（2）因為前項成等差數列，設公差為，則，，

若，則，.

在式中，令得，，所以，

化簡得，①

若，則，

在式中，令得，，所以，

化簡得，②

②①得，，因為公差不為0，所以，

所以，代入①得，，所以，.

所以符合題意.

若，則，，，，，，，，

在式中，令得，，

，所以，所以的最大值為4.

（3）假設存在，使為等比數列，

設前3項分別為1，，，則，

式中，令得，，化簡得，

因為，所以，

此時式為，即，

由，，得，由，得，，

依此類推，，所以等價于，

所以數列為常數列，

所以，

于是時，兩式相減得，

因為，所以，

又，，所以（非零常數），

所以存在，使為等比數列.