Question

設函數f(x)的定義域、值域均為R，f(x)的反函數為f^-1(x)，且對任意實數x，均有f(x)+f^-1(x)＜x.定義數列{a_N}:a₀=8,a₁=10,a_N=f(a_n-1),N=1,2….

(1)求證:a_n+1 +a_n-1＜a_N(N=1,2…).

(2)設b_N=a_n+1-2a_N,N=0,1,2,….求證: b_N＜(-6)()ⁿ(N∈N^*).

(3)是否存在常數A和B,同時滿足:

①當N=0及N=1時,有a_n=成立；     

②當N=2，3…時，有a_n＜成立.

如果存在滿足上述條件的實數A、B，求出A、B的值；如果不存在，證明你的結論.

Answer 1

證明：(1) ∵f(x)+f^-1(x)＜x,令x=a_n,∴f(a_n)+ f^-1(a_n)＜a_n,

即a_n+1＋a_n-1＜a_n.(2)證明：∵a_n+1＜a_n-a_n-1,∴a_n+1-2a_n＜(a_n-2a_n-1),即b_n＜b_n-1.

∵b₀=a₁-2a₀=-6,∴b_n＜()ⁿb₀=(-6)()ⁿ(n∈N^*).

(3)解:由(2)可知a_n+1＜2a_n+(-6)()ⁿ.

假設存在常數A和B，使得a_n=對n=0,1成立，則解得A=B=4.

下面用數字歸納法證明a_n=對一切n≥2,n∈N成立.

①當n=2時，由a_n+1+a_n-1＜a_n得a₂＜a₁-a₀=×10-8=17=.

∴n=2時，a_n＜成立.

②假設n=k(k≥2)時，不等式成立，即a_k＜,

則a_k+1＜2a_k+(-6)()^k＜2×+(-6)()^k=.

這說明n=k+1時，不等式成立.

綜合①②，可知a_n＜對一切n≥2,n∈N成立.

∴A=B=4滿足題設.