Question

已知函數f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1（a為正常數），當0＜x＜2a時，f（x）＞0則（　　）

A．f（3a）=1

B．f（x）是偶函數

C．f（x）在[2a，3a]上單調遞增

D．4a為f（x）的周期

Answer 1

分析：再依據條件求得 f（2a）=0，f（3a）=-1，故排除A．求出函數的定義域，根據條件計算f（-x）與f（x）的關系，再根據函數的奇偶性的定義判定函數為奇函數，故排除B．
由條件求出f（x-a）=-

1

f(x+a)

，可得 f（x）=

-1

f(x+2a)

=f（x+4a），故函數是周期函數，可得D正確．求得先證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0，再根據單調性的定義進行證明，
可得f（x）在[2a，3a]上單調遞減，故排除C，綜合可得結論．

解答：解：由f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1，可求得 f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]=

f(a)•f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f2(a)

-2f(a)

=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]=

f(2a)•f(-a)+1

f(-a)-f(2a)

=

1

-f(a)

=-1，故A不正確．
∵定義域{x|x≠kπ，k∈Z}關于原點對稱，f（a）=1，又f（-x）=f[（a-x）-a]=

f(a-x)• f(a)+1

f(a)-f(a-x)

 
=

f(a-x)+1

1-f(a-x)

=

1+ f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

1- f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

=

2f(x)

-2

=-f（x），∴f（x）為奇函數，故B不正確．
由于 f（x-a）=

f(x)•f(a)+1

f(a)-f(x)

=

1+f(x)

1-f(x)

=

1+f(x+a-a)

1-f(x+a-a)

=

1+ f(x+a)•f(a)+1 f(a)-f(x+a)

1- f(x+a)•f(x) f(a)-f(x+a)

=-

1

f(x+a)

，
所以 f（x）=

-1

f(x+2a)

=f（x+4a），故函數f（x）為周期性等于4a的周期函數，故D正確．
先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減，由題意可得必須證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0．
設2a＜x＜3a，則0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）=

f(2a)•f(x)+1

f(2a)-f(2x)

=

1

-f(x)

＞0，∴f（x）＜0．
設2a＜x₁＜x₂＜3a，則0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2-x1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[2a，3a]上單調遞減，故C不正確．
故選D．

點評：本題主要考查了函數奇偶性和周期性的判斷，以及函數的最值及其幾何意義等有關知識，屬于中檔題．