Question

【題目】數列的前項和為且滿足，（為常數，）．

（1）求；

（2）若數列是等比數列，求實數的值；

（3）是否存在實數，使得數列滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）由，得，可知數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的前項和得答案；

（2）由數列是等比數列，得．結合已知求出，，代入可得；

（3）當時，由（1）及，得，即數列是一個無窮等差數列．當，滿足題意．當時，利用反證法證明，從數列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列．

（1）由，得．

∴數列是以為首項，以為公差的等差數列，

則；

（2）若數列是等比數列，則．

∵，，

∴，．

∴，得；

（3）當時，由（1）及，得，

即數列是一個無窮等差數列．

∴當，滿足題意．

當時，∵，，即．

下面用反證法證明，當，從數列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列．

假設存在，從數列可以取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列．不妨記為，

設數列的公差為．

（1）當時，，

∴數列是各項為正數的遞減數列，則．

∵，

∴當，即，即時，，這與矛盾．

（2）當時，令，解得，

當時，恒成立，

∴數列是各項為負數的遞增數列，則．

∵，∴，與矛盾．

綜上所述，是唯一滿足條件的的值．