【題目】已知函數
，
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）當
，討論的零點個數；
【答案】（1）
單調遞減區間為：
，
；單調遞增區間為：
，
；（2）當
時，在
上有2個零點，當
時，在上無零點.
【解析】
（1）先判斷為偶函數，再利用導數研究
上的單調性，根據偶函數的對稱性，得到答案.（2）先求出導函數，然后對
按照
，
，進行分類討論，當，得到
在單調遞增，結合
，判斷出此時無零點，當，得到單調性，結合
，
的值，以及偶函數的性質，得到零點個數.
解：∵
∴為偶函數，
只需先研究
當
，
，當
，
，
所以在單調遞增，在，單調遞減
所以根據偶函數圖像關于
軸對稱，
得在
單調遞增，在
單調遞減，
.故單調遞減區間為：，；單調遞增區間為：，
（2）
①時，
在恒成立
∴在單調遞增
又
，所以在
上無零點
②時，
，
使得
，即
.
又
在
單調遞減，
所以
，
，
，
所以，單調遞增，，單調遞減，
又，
（i）
，即
時
在
上無零點，
又為偶函數，所以在上無零點
（ii）
，即
在上有1個零點，
又為偶函數，所以在上有2個零點
綜上所述，當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中點為
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某條公共汽車線路收支差額
與乘客量
的函數關系如下圖所示（收支差額＝車票收入－支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（1）不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）不改變支出費用，提高車票價格.下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（ ）
A.①反映建議（2），③反映建議（1）B.①反映建議（1），③反映建議（2）
C.②反映建議（1），④反映建議（2）D.④反映建議（1），②反映建議（2）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解貴州省某州2020屆高三理科生的化學成績的情況，該州教育局組織高三理科生進行了摸底考試，現從參加考試的學生中隨機抽取了100名理科生，，將他們的化學成績（滿分為100分）分為
6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求a的值；
（2）記A表示事件“從參加考試的所有理科生中隨機抽取一名學生，該學生的化學成績不低于70分”，試估計事件A發生的概率；
（3）在抽取的100名理科生中，采用分層抽樣的方法從成績在
內的學生中抽取10名，再從這10名學生中隨機抽取4名，記這4名理科生成績在
內的人數為X，求X的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
的前
項和為
且滿足
，
（
為常數，
）．
（1）求；
（2）若數列是等比數列，求實數的值；
（3）是否存在實數，使得數列
滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區．為了解市民每年旅游消費支出情況
單位：百元
，相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查，并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表：
組別 |
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得樣本的中位數精確到百元；
根據樣本數據，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態分布
，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；
若年旅游消費支出在
百元以上的游客一年內會繼續來該景點游玩現從游客中隨機抽取3人，一年內繼續來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．
參考數據：，
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，
為其焦點，
為其準線，過任作一條直線交拋物線于
兩點，
、
分別為
、
在上的射影，
為
的中點，給出下列命題：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
與
的交點的
軸上；（5）
與
交于原點.
其中真命題的序號為_________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是由兩個全等的菱形
和
組成的空間圖形，
，∠BAF＝∠ECD＝60°.
（1）求證：
；
（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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