Question

若函數f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關于點M(

π

3

，0)對稱，且滿足f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），則a+ω的一個可能的取值是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由題意可得，f（0）=f（

2π

3

），可得關于a與ω的關系式；又f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），可知f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，得關于a與ω的又一關系式；通過賦值可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關于點M（

π

3

，0）對稱，
∴f（0）=f（

2π

3

），即a=sin

2πω

3

+acos

2πω

3

，
又f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），
∴f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，
∴f（0）=f（

π

3

），即a=sin

πω

3

+acos

πω

3

；
∴sin

2πω

3

+acos

2πω

3

=sin

πω

3

+acos

πω

3

；
不妨令ω=3，則0+a=0-a，
∴a=0，
∴a+ω=0+3．
即3是a+ω的一個可能值．
故選D．

點評：本題考查三角函數的性質，求得a是關鍵，考查正弦函數的對稱性，考查分析、轉化與運用三角知識解決問題的能力，屬于難題．