Question

【題目】設橢圓，直線經過點，直線經過點，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.

(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點，且直線軸，求四邊形的面積;

(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析

【解析】

(Ⅰ)計算得到故，，，，計算得到面積.

(Ⅱ) 設為，聯立方程得到，計算，同理，根據得到，得到證明.

(Ⅲ) 設中點為，根據點差法得到，同理，故，得到結論.

(Ⅰ)，，故，，，.

故四邊形的面積為.

(Ⅱ)設為，則，故，

設，，故，

，

同理可得，

，故，

即，，故.

(Ⅲ)設中點為，則，，

相減得到，即，

同理可得：的中點，滿足，

故，故四邊形不能為矩形.