Question

（2012•東城區二模）已知函數f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x（a＞1）．
（l）試討論f（x）在區間（0，1）上的單調性；
（2）當a∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲線y=f（x）在點P，Q處的切線互相平行，求證：x₁+x₂＞

6

5

．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），當x∈（0，1）時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）由題意可得，當a∈[3，+∞）時，f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂），由此可得a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，從而x1+x2＞

4

a+ 1 a

，只要求出

4

a+ 1 a

在[3，+∞）的最大值即可．

解答：解：（1）由已知，得x＞0，f′(x)=

a+ 1 a

x

-

1

x2

-1=-

x2-(a+ 1 a )x+1

x2

=-

(x-a)(x- 1 a )

x2

．
由f′（x）=0，得x1=

1

a

，x2=a．因為a＞1，所以0＜

1

a

＜1，且a＞

1

a

．
所以在區間（0，

1

a

）上，f′（x）＜0；在區間（

1

a

，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，1）上單調遞增．
證明：（2）由題意可得，當a∈[3，+∞）時，f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）．
即

a+ 1 a

x1

-

1

x12

-1=

a+ 1 a

x2

-

1

x22

-1，所以a+

1

a

=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，a∈[3，+∞）．
因為x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂，所以x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
所以

1

x1x2

＞

4

(x1+x2)2

，又x₁+x₂＞0，所以a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，整理得x1+x2＞

4

a+ 1 a

，
令g（a）=

4

a+ 1 a

，因為a∈[3，+∞），所以a+

1

a

單調遞增，g（a）單調遞減，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值為g（3）=

6

5

，
所以x1+x2＞

6

5

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性問題、求最值問題，運用所學知識解決問題的能力．