Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD中點．
（Ⅰ）試證：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）高PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲證CD⊥面BEF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證CD與面BEF內兩相交直線垂直，而CD⊥BF，CD⊥EF，BF∩EF=F，滿足定理條件；
（Ⅱ）連接AC交BF于G，在底面ABCD中，過G作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，根據二面角平面角的定義可知∠EHG為二面角E-BD-C的平面角，求出此角的正切值使該值大于tan30°，即可求出k的范圍．

解答：（I）證明：由已知∠DAB為直角．
故ABFD是矩形．從而CD⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
故由三垂線定理知CD⊥PD．△PDC中，E、F分別為PC、CD的中點，
故EF∥PD，從而CD⊥EF，CD?面BEF，BE?面BEF
由此得CD⊥面BEF．
（Ⅱ）連接AC交BF于G，
易知G為AC的中點，連接EG，
則在△PAC中易知EG∥PA．
因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．
在底面ABCD中，過G作GH⊥BD．
垂足為H，連接EH，
由三垂線定理知EH⊥BD．
從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角．
設AB=α則在△PAC中，有EG=

1

2

PA=

1

2

kα
以下計算GH，考慮底面的平面圖，
連接GD，因S△GBD=

1

2

BD•GH=

1

2

GB•DF，
故GH=

GB•DF

BD

．
在△ABD中，因AB=a．AD=2a．得BD=

5

a．
而GB=

1

2

FB=

1

2

AD=a，DF=AB，從而得GH=

GB•AB

BD

=

a•a

5 a

=

5

5

a．
因此，tanEHG=

EG

GH

=

1 2 ka

5 a 5

=

5 k

2

．
由k＞0知∠EHG是銳角．故要使∠EHG＞30°，
必須

5 k

2

＞tan30°=

3

3

，
取值范圍為k＞

2 15

15

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．