Question

已知函數(shù)

（I）當(dāng)a=18時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0.4）．

（2）e²-4e+2-a．

【解析】

試題分析：解：（1）當(dāng)a=18時(shí)，f（x）=x²-4x-16lnx（x＞0），所以f'（x）=2x-4- ，由f'（x）＞0，解得x＞4或一2＜x＜0，注意到x＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞）．由f'（x）＜0，解得0＜x＜4或x＜-2．注意到x＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4）．綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0.4）．（2）當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-4x+（2-x）lnx， f'（x）=2x-4+ 設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．當(dāng)a＜0時(shí)，有△=16-4×2（2-a）=8a＜0，此時(shí)g（x）＞0恒成立，所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e²]上單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜．①當(dāng)≥e²，即a≥2（e2-1）2時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]上單調(diào)遞減，所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e2+4-2a；②當(dāng)e＜＜e²，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，在區(qū)間[e，]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[，e²]上單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f()=a-3+（2-a）ln（）；③當(dāng)≤e，即0＜a≤2（e-1）²時(shí)，以f（x）在區(qū)間[e，e²]上單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．綜上所述，當(dāng)a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；當(dāng)2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=-3+（2-a）ln（）；當(dāng)a＜0或0＜a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）_min=e²-4e+2-a．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算繁瑣．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用。