Question

已知函數f(x)=log

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(3+2x-x2)．
（Ⅰ） 求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設t=3+2x-x²，則y=log

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t．求出f（x）的定義域，先研究t，y的單調性，再根據復合函數單調性的判定方法即可求得f（x）的單調區間，注意定義域；
（Ⅱ）在f（x）的定義域內先求函數t=-（x-1）²+4的值域，再結合為y=log₂t的單調性即可求得f（x）的值域；

解答：解：（Ⅰ）設t=3+2x-x²，則y=log

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t．
由t=3+2x-x²＞0得x²-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得-1＜x＜3．
因為t=-（x-1）²+4，所以拋物線的對稱軸為x=1．
當x∈（-1，1]時，t是x的增函數，y是t的減函數；
當x∈[1，3）時，t是x的減函數，y是t的減函數．
所以，函數f（x）的單調遞增區間為[1，3），單調遞減區間為（-1，1]．
（Ⅱ）如圖：
由（Ⅰ）知t=-（x-1）²+4，當x=1時，t_max=4．
又因為y=log₂t在（0，4]上是減函數，
所以當t_max=4時，ymin=log

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4=log

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(

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)-2=-2．
故函數f（x）的值域為[-2，+∞）．

點評：本題考查復合函數的單調性、對數函數、二次函數的性質及函數值域的求解，屬中檔題，判斷復合函數單調性的方法：“同增異減”．