Question

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.

（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；

（Ⅲ）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題（Ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關鍵是求出平面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證；（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關鍵是求出平面的法向量，再利用向量數量積求出法向量夾角，最后根據向量夾角與二面角相等或互補關系求正弦值；（Ⅲ）利用空間向量求線面角，關鍵是求出平面的法向量，再利用向量數量積求出向量夾角，最后根據向量夾角與線面角互余關系求正弦值.

試題解析：依題意，，如圖，以為點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得，.

（Ⅰ）證明：依題意，.

設為平面的法向量，則，即.

不妨設，可得，又，可得，

又因為直線，所以.

（Ⅱ）解：易證，為平面的一個法向量.

依題意，.

設為平面的法向量，則，即.

不妨設，可得.

因此有，于是，

所以，二面角的正弦值為.

（Ⅲ）解：由，得.

因為，所以，進而有，從而，因此.

所以，直線和平面所成角的正弦值為.