Question

(本小題12分) 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,

∠PDA=45°, 點E、F分別為棱AB、PD的中點.

（1）求證: AF∥平面PCE;

（2）求證: 平面PCE⊥平面PCD;

（3）求AF與平面PCB所成的角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）30°

【解析】證明: （1）取PC的中點G，連結FG、EG，

∴FG為△CDP的中位線  ∴FGCD

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點

∴ABCD     ∴FGAE ∴四邊形AEGF是平行四邊形 ∴AF∥EG  

又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面PCE  

     （2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP ，又AF平面ADP         ∴CD⊥AF

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形   ∴PA＝AD=2 

∵F是PD的中點，∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD    ∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD

又EG平面PCE 平面PCE⊥平面PCD

（3）過E作EQ⊥PB于Q點, 連QG, CB⊥面PAB

     ∴QE⊥面PCB, 則∠QGE為所求的角.

   S_△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=

   在△PEC中, PE＝EC＝, G為PC的中點, ∴EG＝,

在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=

   ∴∠EGQ=30°