Question

【題目】已知動圓經過點，且動圓被軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標準方程；

（2）過軸下方一點向曲線作切線，切點記作、，直線交曲線于點，若直線、的斜率乘積為，點在以為直徑的圓上，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，動圓被軸截得的弦長為4，則，從而得到答案.
（2）設直線：，，,求出過的切線方程，方程聯立，結合直線、的斜率乘積為，用表示出點的坐標，點在以為直徑的圓上，則，建立關于的方程求解即可.

解：（1）設，則，

，即，

所以曲線的標準方程為：.

（2）設直線：，，，

，

過點的切線方程為：，

過點的切線方程為：，

聯立，解得，

所以，點，

，

所以點，則又，則，

由，直線的方程為，

代入拋物線,可得，

點在以為直徑的圓上，則，

，

，

整理得，

所以，點的坐標為：.