【題目】如圖，已知三棱柱
中，平面
平面ABC，
，
.
（1）證明：
；
（2）設(shè)
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
.
【解析】
（1）要證明
，只需證明
平面
即可；
（2）取
的中點(diǎn)為M，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面
與平面
的法向量，利用向量的夾角公式計(jì)算即可.
（1）證明：連結(jié)
.
∵
，四邊形
為菱形，∴
.
∵平面
平面ABC，平面
平面
，
平面ABC，
，
∴
平面.
又∵
，∴
平面，∴
.
∵
，
∴平面，而
平面，
∴
.
（2）取的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM.
∵，四邊形為菱形，
，
∴
，
.
又∵
，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
設(shè)
，
，，，
∴
，
，
，
，
.
由（1）知，平面的一個(gè)法向量為
.
設(shè)平面的法向量為
，
則
并且
，
∴
.
令
，得
，
，
即
.
∴
，
∴二面角
的正弦值為.
【點(diǎn)晴】
本題主要考查線線垂直的證明，坐標(biāo)法求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某工廠生產(chǎn)了一批零件，從中隨機(jī)抽取100個(gè)作為樣本，測(cè)出它們的長(zhǎng)度（單位：厘米），按數(shù)據(jù)分成
，
，
，
，
5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．以這100個(gè)零件的長(zhǎng)度在各組的頻率代替整批零件長(zhǎng)度在該組的概率．
（1）估計(jì)該工廠生產(chǎn)的這批零件長(zhǎng)度的平均值（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）若用分層抽樣的方式從第1組和第5組中抽取5個(gè)零件，再?gòu)倪@5個(gè)零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽取的零件中恰有1個(gè)是第1組的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】哈爾濱市第三中學(xué)校響應(yīng)教育部門(mén)疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中
分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比
分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計(jì)抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在
，
的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】
大學(xué)生是國(guó)家的未來(lái)，代表著國(guó)家可持續(xù)發(fā)展的實(shí)力，能夠促進(jìn)國(guó)家綜合實(shí)力的提高.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年至2020年我國(guó)高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)如下表：
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代號(hào)x | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬(wàn)人) | 765 | 795 | 820 | 834 | 874 |
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.
(已知：
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較弱)
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年我國(guó)高校畢業(yè)生的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
參考公式和數(shù)據(jù)：
，
，
，
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是
，曲線C的方程為
.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為
的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.
（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為
，求a.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知?jiǎng)訄A
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，且動(dòng)圓被
軸截得的弦長(zhǎng)為4，記圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)軸下方一點(diǎn)
向曲線作切線，切點(diǎn)記作
、
，直線
交曲線于點(diǎn)
，若直線
、的斜率乘積為
，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
超過(guò)1小時(shí) | 不超過(guò)1小時(shí) | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)？
（3）從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查60名學(xué)生，一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)記為X，以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的
倍，縱坐標(biāo)坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的
倍，得到曲線
，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)
為極點(diǎn)，以
軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值．
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