Question

已知有窮數列{a_n}共有2k項(整數k≥2),首項a₁=2，設該數列的前n項和為S_n，且a_n+1=(a-1)S_n+2(n=1,2,…,2k-1)，其中常數a＞1.

(1)求證：數列{a_n}是等比數列；

(2)若a=，數列{b_n}滿足b_n=log₂(a₁a₂…a_n)(n=1,2,…,2k)，求數列{b_n}的通項公式；

(3)若(2)中的數列{b_n}滿足不等式.

|b₁-|+|b₂-|+…+|b_2k-1-|+|b_2k-|≤4，求k的值.

Answer 1

解：(1)a_n+1=(a-1)S_n+2,                               ①

當n≥2時,a_n=(a-1)S_n-1+2,                             ②

    兩式相減得

a_n+1-a_n=(a-1)(S_n-S_n-1)=(a-1)a_n，∴a_n+1=aa_n.

∴=a為常數.

∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，以a為公比的等比數列.

(2)由(1)知a_n=2·a^n-1，

∴b_n=log₂(2·2a·2a²·…·2a^n-1)

=log₂(2ⁿ·a^{1+2+…+(n-1)})

=(n+)=1+··log₂a

=1+·=1+.

(3)|b_n-|=|-|=||，

∴|b₁-|+|b₂-|+…+|b_2k-1-|+|b_2k-|

=||+||+…+||+||

=2［++…++］

==.

    令≤4，即k²-8k+4≤0,

∴4-2≤k≤4+2.

    又∵k≥2，k∈Z，

∴k的值為2,3,4,5,6,7.