Question

已知有窮數列{a_n}只有2k項（整數k≥2），首項a₁=2，設該數列的前n項和為S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常數a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a=2

2

n-1

，數列{b_n}滿足bn=

1

n

log2(a1a2…an)，(n=1，2，3，…，2k)，求證：1≤b_n≤2．

Answer 1

分析：（1）n≥2時，sn=

an+1-2

a-1

，sn-1=

an-2

a-1

兩式相減得Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，a_n+1=a•a_n，由此能名求出數列{a_n}的通項公式．
（2）把數列{a_n}的通項公式代入數列{b_n}的通項公式，可得bn=

1

n

log2(a1a2…an)=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

，由此能夠證明1≤b_n≤2．

解答：解：（1）n≥2時，sn=

an+1-2

a-1

，sn-1=

an-2

a-1

兩式相減得
Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，
∴a_n+1=a•a_n，
當n=1時，a1=S1=

a2-2

a-1

=2，
∴a₂=2a，
則，數列{a_n}的通項公式為a_n=2•a^n-1．
（2）把數列{a_n}的通項公式代入數列{b_n}的通項公式，可得
bn=

1

n

log2(a1a2…an)=

1

n

(log2a1+log2a2+…+log2an)
=

1

n

[1+（1+

2

2k-1

）+（1+

4

2k-1

）+…+（1+

2n-2

2k-1

）]
=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

Q₁≤n≤2k，∴1≤b_n≤2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法和數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意迭代法合理運用和合理地進行等價轉化．