Question

（本題滿分16分） 已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓的焦距為2．
⑴求橢圓的方程；
⑵設為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑作圓，當圓與橢圓的右準線有公共點時，求△面積的最大值．

Answer 1

⑴．⑵ ．

(1)由離心率和b值，不難求出a,從而方程易求。
(2)在（1）的基礎上，可知由于圓與有公共點，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．因為，所以，
即 ．然后再借助橢圓方程，消y₀轉化為求解即可。
解：⑴因為，且，所以．……………………………………2分
所以．………………………………………………………………………………4分
所以橢圓的方程為．……………………………………………………6分
⑵設點的坐標為，則．
因為，，所以直線的方程為．………………………………8分
由于圓與有公共點，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．
因為，所以，………………10分
即 ．
又因為，所以．…………………………12分
解得，又，∴．……………………………………14分
當時，，所以 ．…………16分