Question

已知函數，
（1）判斷函數的單調性，并用定義證明；　　　
（2）求函數的最大值和最小值．

Answer 1

（1）解：f（x）在[3，5]上為增函數．證明如下：…（2分）
設x₁，x₂是區間[3，5]上的任意兩個實數且x₁＜x₂，
則…（4分）
∵3≤x₁＜x₂≤5∴2-x₁＜0，2-x₂＜0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[3，5]上為增函數…（8分）
（2）由（1）f（x）在[3，5]上為增函數，
所以f（x）在[3，5]上有最大值f（5）=-2，有最小值f（3）=-4…（12分）
分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤5，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案；
（2）根據（1）可知函數的單調性，將區間端點的值代入即可求出最大值和最小值．
點評：本題主要考查函數單調性的判斷與證明，以及應用單調性求函數的最值，同時還考查了學生的變形，轉化能力，屬中檔題．