Question

已知A（3，0）及雙曲線E：

x2

9

-

y2

16

=1，若雙曲線E的右支上的點Q到點B（m，0）（m≥3）距離的最小值為|AB|．
（1）求m的取值范圍，并指出當m變化時B的軌跡C
（2）如（圖1），軌跡C上是否存在一點D，它在直線y=

4

3

x上的射影為P，使得

AP

•

OD

=

OP

•

PD

？若存在試指出雙曲線E的右焦點F分向量

AD

所成的比；若不存在，請說明理由．
（3）（理）當m為定值時，過軌跡C上的點B（m，0）作一條直線l與雙曲線E的右支交于不同的兩點（圖2），且與直線y=

4

3

x，y=-

4

3

x分別交于M、N兩點，求△MON周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設Q（a，b）利用距離公式|QB|²=（a-m）²+b²=

25

9

a2-2am+m²-16，建立關于a的二次函數，利用二次函數的性質得出：當且僅當3≤m≤

25

3

時，M到B的距離為|AB|．所以點B的軌跡是一條線段；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即存在D，令P（3t，4t），再利用向量的坐標表示求出向量的數量積，求出D的坐標，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（3）設M（3s，4s）、N（3t，-4t），根據M、B、N共線得出s，t的關系式，再根據基本不等式求出其最小值，從而得到△OMN的周長L=|OM|+|ON|+|MN|的周長最小值即可．

解答：解：（1）Q（a，b），

a 2

9

-

b2

16

=1⇒b²=

16a2

9

-16；
|QB|²=（a-m）²+b²=

25

9

a2-2am+m²-16，a=

9m

25

，|QB|_min=

16m2 25 -16

．
∴

16m2 25 -16

=|AB|=m-3⇒

16

25

m2-16=m²-6m+9=0⇒（3m-25）²=0⇒m=

25

3

．
∴由上述可得：當且僅當3≤m≤

25

3

時，M到B的距離為|AB|．所以點B的軌跡是一條線段AN，其中N（

25

3

，0），即軌跡G為線段AN．（理4分）（文6分）
（2）設存在D，令P（3t，4t），則D（

25

3

t，0），于是

AP

=（3t-3，4t），

OD

=（

25

3

t，0），
∴

OD

•

AP

=0，∴25t²-25t=0，∴t=0或t=1，
當t=0時，D（0，0）不滿足題意，舍去；
當t=1時，D（

25

3

，0）在軌跡G上，所以存在D滿足題意，
此時D（

25

3

，0），F（5，0），有

AF

=（2，0），

FD

=（

10

3

，0），

AF

=

3

5

FD

，
從而F分

AD

所成的比為λ=

3

5

，
（3）（理）設M（3s，4s）、N（3t，-4t），因為直線l與雙曲線E的右支有兩個交點，
所以s＞0，t＞0，由M、B、N共線知

3s-m

4s

=

3t-m

-4t

即

1

s

+

1

t

=

6

m

（理9分）
而

6

m

(s+t)=(

1

s

+

1

t

) (s+t)=2+

t

s

+

s

t

≥4，
所以，當且僅當s+t≥

2m

3

時s=t=

m

12

取等號，
△OMN的周長L=|OM|+|ON|+|MN|=5s+5t+

(3s-3t) 2+(4s+4t) 2

=5（s+t）+

9(s-t) 2+16(s+t) 2

≥9（s+t）≥6m
所以，當 s=t=

m

12

時，△OMN的周長最小為6m．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．