Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2AA₁，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為______．

Answer 1

以D點為坐標原點，以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），

AC

且為平面BB₁D₁D的一個法向量．
∴cos＜

BC1

，

AC

＞=

4

5 • 8

=

10

5

．
∴BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

10

5

，
故答案為：

10

5

．