Question

下圖展示了一個由區間（0，4）到實數集R的映射過程：區間（0，4）中的實數m對應數軸上的點M（如圖1），將線段AB圍成一個正方形，使兩端點A，B恰好重合（如圖2），再將這個正方形放在平面直角坐標系中，使其中兩個頂點在y軸上，點A的坐標為（0，4）（如圖3），若圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
現給出以下命題：
①f（2）=0
②f（x）的圖象關于點（2，0）對稱；
③f（x）在區間（3，4）上為常數函數；
④f（x）為偶函數．
其中正確的命題是

①②③

．

Answer 1

分析：本題利用直接法和排除法解決．由題意知，①可直接求解其函數值進行判斷；函數f（x）的定義域為（0，4），不關于原點對稱，函數f（x）是非奇非偶函數，故④錯．當x從3→4變化時，點N始終在正方形的一條邊的延長線上，其對應的坐標值不變，所以③正確．對于②，由于當m=2時對應的正方形的點在y軸，可從運動的角度進行分析

解答：解：由題意知，f（2）=0，故①對；
又∵函數f（x）的定義域為（0，4），關于原點不對稱，
∴函數f（x）不可能是偶函數，故④錯．
x從3→4變化時，N始終在正方形的一邊的延長線上，其對應的坐標不變，即f（x）在（3，4）上為常數函數，故③正確．
對于②，由于當m=2時對應的正方形的點在y軸，所以f（x）的圖象關于點（2，0）對稱，故②正確．
故答案為：①②③

點評：本題主要考查了映射和函數的概念及其構成要素，具有一定的新意，關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．