Question

【題目】某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE．如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度．某人在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角．當人在A點時，觀測到視角∠DAE的正切值為．

（1）求扶梯AC的長

（2）當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設，用分別表示出和，利用兩角和的正切公式求出，再根據的范圍求解出答案；

（2）作且交于點，設，用分別表示出和，利用兩角差的正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此時即取最大值，利用基本不等式取最值的條件求出，再求出即可.

（1）由題意，為的中點，,所以，

設，則，，

在中，，

在中，，

由兩角和的正切公式，，

，所以，解得，或，

因為，所以，，

所以扶梯AC的長為米；

（2）作且交于點，如圖所示，

設，則，，由（1）知，，

，，

當取最大值時，即取最大值，

，

當且僅當，即時等式成立，

所以此時.