Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，//，平面平面ABCD，點E，F分別為AD，CP的中點，.

（1）證明：直線//平面PAB；

（2）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2).

【解析】

（1）取中點為，構造過的平面，由面面平行推證線面平行即可；

（2）取中點為，過作，找出二面角的平面角，再解三角形即可.

（1）取中點為，連接，如下圖所示：

在中，

因為分別是兩邊的中點，

故可得//；

在梯形中，

因為分別是兩腰的中點，

故可得//；

又因為平面，且，

平面，且，

故可得平行//，

又因為平面，

故可得//平面，即證.

（2）取中點為，連接，

過作，連接，如下圖所示：

因為是等邊三角形，且為中點，

故可得；

因為平面平面，且兩平面交于，

故可得平面.

又因為平面，

故可得；

又因為梯形是直角梯形，//，

故可得；

又因為平面，且交于點，

故可得平面，又因為平面，

故可得；又，

且平面，且交于點，

故可得平面，則即為所求線面角.

在梯形中，

因為，且

故可得；

在中，

；；

故可得斜邊上的高線；

在中，

；；

故可得斜邊上的中線；

綜上所述：在中，

，，

故可得.

故直線EF與平面PBC所成角的正弦值為.