Question

已知函數．

（1）求的最小值；

（2）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間.設，試問函數在上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）在處取得最小值．

（2）函數在上不存在保值區間,證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導數，解得函數的減區間；

解，得函數的增區間．

確定在處取得最小值．

也可以通過“求導數、求駐點、研究函數的單調區間、確定極值（最值）” .

（2）函數在上不存在保值區間.

函數存在保值區間即函數存在自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同.因此，可以假設函數存在保值區間,研究對應函數值的取值區間.在研究函數值取值區間過程中，要么得到肯定結論，要么得到矛盾結果.本題通過求導數：，明確時， ，得到所以為增函數，因此

轉化得到方程有兩個大于的相異實根，構造函數 后知其為單調函數，推出矛盾，作出結論.

試題解析：

（1）求導數，得．

令，解得． 2分

當時，，所以在上是減函數；

當時，，所以在上是增函數．

故在處取得最小值． 6分

（2）函數在上不存在保值區間,證明如下：

假設函數存在保值區間,

由得：

因時， ，所以為增函數，所以

即方程有兩個大于的相異實根 9分

設

因，，所以在上單增

所以在區間上至多有一個零點 12分

這與方程有兩個大于的相異實根矛盾

所以假設不成立，即函數在上不存在保值區間. 13分

考點：新定義問題，應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，間接推理.