Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.

已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.

（1）       若，是否存在，有說明理由；

（2）       找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；

（3）       若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請證明.

Answer 1

（1）由，                        ……2分

           整理后，可得，，為整數(shù)，

          不存在，使等式成立.                           ……5分

       （2）解法一  若即，        （*）

          （i）若，

            當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求.……7分

          （ii）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得（*）式等號(hào)右邊只有當(dāng)時(shí)，才可能等于1，此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，，矛盾.

           綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求.                                                 ……10分

        解法二  設(shè)，若，對都成立，且為等比數(shù)列，則，對都成立，即，

     ，對都成立，……7分

          （i）若，.

          （ii）若，則

           綜上所述，，使對一切，.  ……10分

           （3），

            設(shè)

           ，

          ，，            ……13分

      取，……15分

      由二項(xiàng)展開式可得整數(shù)，使得，

       

       存在整數(shù)滿足要求.

      故當(dāng)且僅當(dāng)，命題成立.                               ……18分

       說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

    若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但為奇數(shù).

    故此等式不成立，一定為奇數(shù).                         ……1分

當(dāng)，

而

            當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，存在，使成立，                  ……1分

當(dāng) ，

也即，，

由已證可知，當(dāng)為偶數(shù)即為奇數(shù)時(shí)，存在，成立，……2分

當(dāng)，

也即，而不是5的倍數(shù)，當(dāng)所要求的不存在，

故不是所有奇數(shù)都成立.                                        ……2分

解析:

⑴知道了數(shù)列通項(xiàng)，可以把表達(dá)出來，因?yàn)?img width=72 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/186/21386.gif">，看是否滿足條件；

⑵寫出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)公差的取值進(jìn)行討論；

⑶由題意可知，數(shù)列的通項(xiàng)可以確定，設(shè)連續(xù)的項(xiàng)的的首項(xiàng)，可以求出這項(xiàng)的和，讓其等于數(shù)列的第k項(xiàng)，建立方程，因?yàn)?img width=117 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/90/21490.gif">，從這里入手進(jìn)行計(jì)算.