Question

【題目】設正三棱錐A﹣BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的所有頂點都在球O的球面上，BC=2，E，F分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，則球O的表面積為（ ）
A.
B.6π
C.8π
D.12π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，

又∵EF⊥DE，

∴AC⊥DE，

取BD的中點O，連接AO、CO，

∵三棱錐A﹣BCD為正三棱錐，

∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC平面AOC，∴AC⊥BD，

又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；

∴AC⊥AB，

設AC=AB=AD=x，則x2+x2=4x= ，

所以三棱錐對應的長方體的對角線為 = ，

所以它的外接球半徑為 ，

∴球O的表面積為 =6π

所以答案是：B．